Liste Demo

Voici la liste de tous les ROCs exigibles au bac S et contenu dans le pack premium Rocmaths. En 2009, la démonstration demandée était celle de probabilité (voir VI), et était inclus dans le pack rocmaths.

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I-Suite

1.1- Suite et limite

Si une suite (un) est croissante et non majorée alors

si une suite (un) est décroissante et non minorée, alors 

1.2 Suites adjacentes

Si deux suites sont adjacentes alors elles convergent et ont même limite L.
De plus on a Un < L < Vn

II- Fonctions

2.1 Théorème des gendarmes

Soit u,f,v 3 fonctions définies sur un intervalle I=[a,+¸[ telles que u(x) <f(x)< v(x) sur I.

Si lim u(x)=l=lim v(x)
x»+inf         x»+inf

alors h admet une limite en +inf¸ et on a lim h(x) = l

2.2 Théorème des valeurs intermédiaires

Soit f une fonction continue sur un intervalle I, a et b deux réels de I.
Pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que f(c) = k.

2.3- Théorème dit de la bijection

Soit f une fonction continue et strictement monotone sur [a, b],
Alors, pour tout réel k compris entre f (a) et f (b), l’équation f (x) = k a une solution unique dans [A, B].

2.4 – Fonctions composées

Démonstration de (g o u)’ = g’ o u X u’

2.5- Existence et unicité de l’équation différentielle

2.6 – Si f(x) = cosx + i sinx
montrer que quel que soit
x et y, f(x+y)=f(x)f(y)

III- Intégration et primitives

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a un point de I.
Alors il existe une unique primitive F de f sur I telle que F(a) = 0.

IV- Exponentielles

4.1 Démonstration existence et unicité

Démonstration de :

S’il existe une solution f dérivable sur R de l’équation différentielle f’ = f avec f (0) = 1, alors f est non nulle sur R.

et de :

Il existe une unique fonction f , dérivable sur R telle que f’ = f et
f (0) = 1.
Cette fonction est la fonction exponentielle. On la note exp.

4.2 Pour tout réel a et b, exp(a+b) = exp(a)exp(b).

V- Croissance comparées

Démontrer que :

et

VI. Probabilités

Soit n et p deux entiers naturels,

Démontrer les égalités.

VII. Aires et primitives

Soit f une fonction
continue et positive sur
l’intervalle [a;b],
et D le domaine plan
délimité par la courbe de f, l’axe des abscisses et les droites x=a et x=b.

Soit F une primitive de f.
L’aire du domaine D est
égale a F(b)-F(a).
D’ou :
b
ƒf(x)dx = F(b) – F(a)
a
Démontrer l’égalité

VIII .Nombres complexes

Démontrer que :

• arg(zz’)= arg(z) + arg(z’) + 2k[pi] où k appartenant à Z

• arg (z/z’)= arg(z) ª arg(z0) + 2k[pi] avec k appartenant à Z

Démonstrations de Spé maths

Propriétés démontrées :

L’ensemble des nombres premiers est infini.

Une similitude ayant deux points fixes est soit l’application identique, soit une symétrie axiale.

Etant donnés quatre points A,B,A’,B’ tels que A différent de B et A’ différent de B’, il existe une unique similitude directe transformant A en A’ et B en B’.